\documentclass[12pt,a4papper]{article}

% Use utf-8 encoding for foreign characters
\usepackage[utf8]{inputenc}

%Babel
\usepackage[american, russian]{babel}
\usepackage{multirow}
% For fullpage
% \usepackage{fullpage}

%\usepackage{hyperref}



% Uncomment some of the following if you use the features
%
% Running Headers and footers
%\usepackage{fancyhdr}

% Multipart figures
%\usepackage{subfigure}

% More symbols
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{latexsym}

%Theorem
\usepackage{amsthm}

% Surround parts of graphics with box
%\usepackage{boxedminipage}

% Package for including code in the document
%\usepackage{listings}

% If you want to generate a toc for each chapter (use with book)
%\usepackage{minitoc}

%For color text
\usepackage{color}


% This is now the recommended way for checking for PDFLaTeX:
\usepackage{ifpdf}


%\newif\ifpdf
%\ifx\pdfoutput\undefined
%\pdffalse % we are not running PDFLaTeX
%\else
%\pdfoutput=1 % we are running PDFLaTeX
%\pdftrue
%\fi

\pagestyle{empty}


\ifpdf
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\else
\usepackage{graphicx}
\fi



\newcounter{problem}
\renewcommand{\i}{\refstepcounter{problem}%
                  {\smallskip} \arabic{problem}. }


\begin{document}

\ifpdf
\DeclareGraphicsExtensions{.pdf, .jpg, .tif}
\else
\DeclareGraphicsExtensions{.eps, .pdf, .jpg}
\fi

\begin{center}
	{\it Первый математический турнир <<Кубок имени А.Н. Колмогорова>>} 
\end{center}
\centerline{\it Белорецк, 20 -- 26 сентября 1997 года}

\centerline{\bf Математическая Карусель}

1. Из пунктов А и Б навстречу друг другу одновременно вышли почтальон и пешеход. Как только они встретились, почтальон передал письмо пешеходу, они развернулись и с теми же скоростями отправились обратно. При этом, когда одному оставалось пройти $3/16$ всего расстояния между А и Б, другому осталось пройти $1/5$ от уже пройденного им пути. Найдите отношение скоростей пешехода и почтальона.

2. Произведение миллиарда натуральных чисел равно миллиарду. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех этих чисел?

3. Решите числовой ребус:

\begin{tabular}[t]{ccccc} 
	\multirow{2}{*}{+}& Т & Э & Т & А \\
	& Б &Э &Т &А \\  
\hline 
Г &А& М& М& А
\end{tabular}

4. Две окружности, длина каждой из которых равна $1$~м, касаются стороны $BC$ прямоугольника $ABCD$, стороны которого равны $2$~м и $4$~м, в одной и той же точке: одна изнутри, другая снаружи. Окружности начинают перекатываться по сторонам прямоугольника. Сколько оборотов сделает каждая окружность к тому моменту, когда возвратится в исходное положение?

5. Коля отправился за грибами между восемью и девятью часами утра в момент, когда часовая и минутная стрелки его часов были совмещены. Домой он вернулся между двумя и тремя часами дня, при этом стрелки его часов были направлены в противоположные стороны. Сколько продолжалась Колина прогулка?

6. Найдите закономерность и укажите пропущенный член последовательности: $0$, $4$, $18$,  $48$, ? , $180$, \dots.

7. На катетах $a$ и $b$ прямоугольного треугольника выбираются точки $P$ и $Q$. Пусть $K$ и $H$ -- основания перпендикуляров $PK$ и $QH$, опущенных на гипотенузу. Найдите наименьшее возможное значение суммы $KP+PQ+QH$.

8. Четыре числа попарно сложили и получили шесть сумм. Известны четыре наименьшие из этих сумм: $1$, $5$, $8$ и $9$. Найдите две остальные суммы и сами исходные числа.

9. Какое наибольшее количество чисел можно записать в строку так, чтобы сумма любых $1997$ идущих подряд чисел была чётна, а сумма любых $1998$ подряд -- нечётна?

10. Три квадрата расположены внутри полукруга так, как показано на рисунке. Найдите отношение их площадей.

\includegraphics{kolm1fig-5}

11. Десятичная запись некоторого натурального числа состоит из $1994$ единиц, $1997$ двоек и $2000$ нулей. Может ли такое число быть точным кубом? Ответ обосновать.

12. Обломов за весну похудел на $36\%$, потом за лето поправился за $25\%$, осенью сел на диету и похудел на $20\%$, а за зиму снова поправился на $31\%$. Похудел он в итоге или поправился, и на сколько процентов?

13. Найдите наименьшее натуральное число, которое оканчивается на 56, делится на 56 и имеет сумму цифр $56$.

14. Турист хочет приготовить себе на завтрак два яйца всмятку, а еще четыре сварить вкрутую. Яйца всмятку должны вариться по $2$ минуты, а вкрутую -- по $4$ минуты  (яйца кладутся в кипящую воду). За какое наименьшее время турист может сварить все яйца, если в его распоряжении есть кастрюлька на $4$ яйца? Ответ обосновать.

15. Французский математик Август де Морган утверждал, что в $x^2$ году ему исполнилось $x$ лет. Известно, что умер он в $1899$ году. Когда он родился?

16. Найдите углы треугольника, если две его высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Укажите все возможные варианты.

17. Два игрока выставляют по одной своей фишке на противоположные края шахматной доски (сначала первый -- белую, а затем второй -- черную). После этого они по очереди передвигают свои фишки каждый раз на одно из соседних (по горизонтали или вертикали) полей. Выигрывает тот, кто сможет поставить свою фишку на фишку противника. Кто выигрывает при правильной игре? Ответ обосновать.

18. Решите числовой ребус:

\begin{tabular}[t]{ccccccccc} 
        &   &   &  \multirow{2}{*}{$\times$} & М & И & Н & У & C \\
        &   &   &   & М & И & Н & У & C \\
\hline 
        &   &   &   & * & * & * & * & C \\
        &   &   & * & * & * & * & У & \\
        &   & * & * & * & * & Н &   & \\
        & * & * & * & * & И &   &   & \\
      М & И & Н & У & С &   &   &   & \\
\hline 
      * & * & * & * & * & * & * & * & * \\

\end{tabular}

19. Цена на туфли ежемесячно повышалась в одно и то же число раз. Полгода назад они стоили не меньше $15$~тысяч рублей. Сейчас они стоят все еще меньше $50$~тысяч рублей. А сколько же (цена выражается целым числом рублей)?

20. Найдите все варианты величины острого угла параллелограмма, если известно, что этот параллелограмм можно разрезать на три попарно неравных равнобедренных треугольника.

21. Найдите хотя бы одно натуральное число, сумма всех делителей которого (не считая самого этого числа) равна $1997$.

22. Разрежьте бумажный прямоугольник $1,5\times 4$~см на две части, которыми можно оклеить куб со стороной $1$~\textit{см}.

23. На прозрачной пленке рисуются фигуры в виде клетчатых квадратов размером $3\times3$, в которых три клетки закрашены. Две фигуры считаются равными, если их можно так наложить друг на друга, чтобы квадраты и закрашенные клетки совместились. Какое наибольшее число попарно неравных таких фигур можно нарисовать?

24. Найдите все пятизначные числа, равные кубу числа, образованного двумя их последними цифрами.

25. Малыш может съесть торт за $10$ минут, банку варенья – за $13$ минут и выпить кастрюлю молока за $14$ минут, а Карлсон может сделать это за $6$, $6$ и $7$ минут соответственно. За какое наименьшее время и каким образом они могут покончить с завтраком, состоящим из торта, банки варенья и кастрюли молока?

26. По случаю избрания Мирафлореса президентом Анчурии был устроен обед на $732$ персоны за круглым столом. Большинство гостей были лысыми. Назовём двоих, сидящих по обе стороны от каждого гостя, его соседями, сидящих через одного от него -- вторыми соседями, и т.д. Мирафлорес рассадил гостей так, что для каждого лысого ровно один из его вторых и ровно один из его четвёртых соседей -- лысые. Сколько лысых было на обеде?

27. Из трёх выкроек (см. рис.) собрали три кубика. Затем из этих кубиков сложили прямоугольный параллелепипед $1\times1\times3$. На четырёх гранях этого параллелепипеда оказались написанными четыре трёхзначных числа (положение цифры в квадрате не имеет значения). Каково наибольшее возможное значение суммы этих чисел?

\includegraphics{kolm1fig-6} 
\includegraphics{kolm1fig-7} 
\includegraphics{kolm1fig-8} 

28. Найдите следующий член последовательности: $2$, $4$, $9$, $28$, $125$, \dots .

29. Известно, что среди всевозможных попарных произведений ста действительных чисел ровно $2000$ отрицательных. Сколько нулей среди этих ста чисел?

30. Найдите все пятизначные числа с таким свойством: каждая цифра числа строго больше суммы цифр, стоящих правее ее.

31. Найдите все решения ребуса

\[\overline{xxyy} = \overline{xx}^2 + \overline{yy}^2\]

32. Сколько всего треугольников содержит нарисованная фигура?

\includegraphics{kolm1fig-4}
 

\bigskip


{\large \textbf{Ответы к <<Карусели>>}}

1.$ 9:7$

2. 1 999 999 999

3. $4940 + 5940 = 10880$

4. $13$ оборотов и $12-4/\pi$ оборотов

5. $6$ часов

6. $n^3-n^2$. Ответ: $100$

7. $\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$.  

8. суммы  $12$, $16$. Числа -- 
а) $-1$, $2$, $6$, $10$;   
б) $-1,5$, $2,5$, $6,5$, $9,5$

9. $3993$

10. $4:1:(2,5-\sqrt{6})$

11. Нет. Сумма цифр числа делится на 3, но не делится на 9

12. Похудел на  $16,16\%$

13. $29899856$

14. $5$ минут

15. $1806$ г.

16. $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$

17.  Второй. Разность сумм индексов номеров полей должна быть четной. 
Стратегия второго -- <<сближение>>.

18. $14286$.

19. $46656$ рублей

20.  $72^\circ$, $360^\circ/7$.

21. Например, $5979=3\cdot 1993$, его делители 1, 3 и 1993.
Еще одно решение $15283=17\cdot29\cdot31$.

22. Возможны различные варианты

23. $16$

24. Два числа: $13824$ и $15625$

25. $12$ минут. Малыш съедает торт и выпивает $1/7$ кастрюли молока, Карлсон съедает варенье и $6/7$ кастрюли молока.

26. $488$ 

27. $1984$

28. $n!+n$. Ответ: $726$

29. $10$

30. Три числа: $84210$, $94210$ и $95210$

31. $8833 = 88^2 + 33^2$.

32. $120$.


\end{document}
